Toggle search
Buscar
Toggle menu
Notificaciones
Toggle personal menu
Editando
Tales de Mileto
(sección)
De ProleWiki, la enciclopedia proletaria
Vistas
Leer
Editar
Editar código
Ver historial
associated-pages
Página
Discusión
Más acciones
Advertencia:
no has iniciado sesión. Tu dirección IP se hará pública si haces cualquier edición. Si
inicias sesión
o
creas una cuenta
, tus ediciones se atribuirán a tu nombre de usuario, además de otros beneficios.
Comprobación antispam. ¡
No
rellenes esto!
=== Teoremas geométricos === Se le atribuyen a Tales los siguientes teoremas: * T<small>1</small>: Un círculo es dividido en dos partes iguales por su diámetro. * T<small>2</small>: Los ángulos la base de un triángulo isósceles son iguales entre sí. * T<small>3</small>: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. * T<small>4</small>: Triángulos con un lado igual y con ángulos iguales adyacentes a dicho lado, son iguales entre sí. * T<small>5</small>: El ángulo inscrito en un semicírculo es recto. En los ''[[Elementos (Euclides)|Elementos]]'' de [[Euclides]] figuran ''explícitamente'' los teoremas T<small>2</small>, T<small>3</small>, T<small>4</small> y T<small>5</small>: * T<small>2</small>, en el Libro I, Proposición 5: "En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí (...)".<ref>[http://www.libgen.is/book/index.php?md5=08184BD6E8FD2E2E7E8A30442975C189 Euclides, ''Elementos,'' Tomo I. Libros I-IV, Editorial Gredos, Madrid, 1991], p. 208.</ref> * T<small>3</small>, en el Libro I, Proposición 15: "Si dos rectas se cortan, hacen los ángulos del vértice [i.e. los opuestos por el vértice] iguales entre sí" .<ref>[http://www.libgen.is/book/index.php?md5=08184BD6E8FD2E2E7E8A30442975C189 Euclides, ''Elementos,'' Tomo I. Libros I-IV, Editorial Gredos, Madrid, 1991], p. 219.</ref> * T<small>4</small>, en el Libro I, Proposición 26: "Si dos triángulos tienen dos ángulos del uno iguales respectivamente a dos ángulos del otro y un lado del uno igual a un lado del otro: ya sea el correspondiente a los ángulos iguales o el que subtiende uno de los ángulos iguales, tendrá también los lados restantes iguales a los lados restantes y el ángulo restante (igual) al ángulo restante".<ref>[http://www.libgen.is/book/index.php?md5=08184BD6E8FD2E2E7E8A30442975C189 Euclides, ''Elementos,'' Tomo I. Libros I-IV, Editorial Gredos, Madrid, 1991], pp. 232-233.</ref> * T<small>5</small>, en el Libro III, Proposición 31: "En un círculo el ángulo en el semicírculo es recto (...)".<ref name=":7">[http://www.libgen.is/book/index.php?md5=08184BD6E8FD2E2E7E8A30442975C189 Euclides, ''Elementos,'' Tomo I. Libros I-IV, Editorial Gredos, Madrid, 1991], p. 328.</ref> El teorema T<small>1</small> no figura explícitamente en los ''[[Elementos (Euclides)|Elementos]]'' pero se infiere de las siguientes definiciones y proposiciones:<ref>https://math.stackexchange.com/questions/2090437/what-is-a-proof-that-a-diameter-bisects-a-circle</ref> * Libro I, Definición 18: "Un ''semicírculo'' es la figura comprendida entre el diámetro y a circunferencia por él cortada. Y el ''centro del semicírculo'' es el mismo que el del círculo"<ref>[http://www.libgen.is/book/index.php?md5=08184BD6E8FD2E2E7E8A30442975C189 Euclides, ''Elementos,'' Tomo I. Libros I-IV, Editorial Gredos, Madrid, 1991], p. 194.</ref> * Libro III, Proposición 31: (ya citada)<ref name=":7" /> * Libro III, Definición 11: "Son ''segmentos de círculo semejantes'' los que admiten ángulos iguales, aquellos en que los ángulos son iguales entre sí".<ref>[http://www.libgen.is/book/index.php?md5=08184BD6E8FD2E2E7E8A30442975C189 Euclides, ''Elementos,'' Tomo I. Libros I-IV, Editorial Gredos, Madrid, 1991], p. 293.</ref> * Libro III, Proposición 24: "Los segmentos circulares semejantes que están sobre rectas iguales son iguales entre sí".<ref>[http://www.libgen.is/book/index.php?md5=08184BD6E8FD2E2E7E8A30442975C189 Euclides, ''Elementos,'' Tomo I. Libros I-IV, Editorial Gredos, Madrid, 1991], p. 320.</ref> Efectivamente: * En la definición de semicírculo (I.Def.18) no está implícito que un semicírculo es la ''mitad'' de un círculo. Esto es algo que debe ser probado. * A parir de III.Prop.31 y III.Def.11 tenemos que los dos semicírculos de una círculo son segmentos ''semejantes''. * Finalmente III.Prop.24 garantiza la igualdad de dichos semicírculos. Pasemos ahora a los orígenes de las atribuciones de estos teoremas a Tales. Es [[Proclo]] quien sus ''Comentarios'' a [[Euclides]], atribuye a Tales los teoremas T<small>1</small>, T<small>2</small>, T<small>3</small> y T<small>4</small> basándose en [[Eudemo]]: * Atribución de T<small>1</small> a Tales: "En cuanto a que el círculo es dividido por el diámetro en dos partes iguales, dicen que Tales fue el primero en demostrarlo."<ref>Proclo, ''Comentario al libro I de los "Elementos" de Euclides.'' 157, 10-13.</ref> * Atribución de T<small>2</small> a Tales: "Hay que agradecer al viejo Tales por el descubrimiento de muchas otras cosas y por este teorema, pues se dice que fue el primero en enseñar y sostener que en todo triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales; aunque, en un <lenguaje> más arcaico, llamó «similares» a los ángulos iguales."<ref>Proclo, ''Comentario al libro I de los "Elementos" de Euclides''. 250, 20-251, 2.</ref> * Atribución de T<small>3</small> a Tales: "Este teorema muestra ciertamente que, de dos líneas que se cortan entre sí, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Según dice Eudemo, fue descubierto primero por Tales."<ref>Proclo, ''Comentario al libro I de los "Elementos" de Euclides''. 299, 1-4.</ref> * Atribución de T<small>4</small> a Tales: "Eudemo, en la ''Historia de la geometría'', atribuye a Tales este teorema, pues dice que es necesario hacer uso de él por el modo que dicen que calculó la distancia de las naves en el mar."<ref>Proclo, ''Comentario al libro I de los "Elementos" de Euclides''. 352, 14-18.</ref> La atribución del teorema T<small>5</small> a Tales proviene de [[Diógenes Laercio]] que usa como fuente a [[Pánfila]] (compiladora del s. I n.e.):<blockquote>Él [Tales] fue el primero en inscribir un triángulo de ángulos rectos en un círculo.<ref>Diógenes, I, 24.</ref></blockquote>Ahora bien, la autoría de Tales de estos teoremas, en especial de sus demostraciones, es altamente dudosa. Empecemos por el más "simple" de todos (T<small>1</small>):<blockquote>Si Tales ha comprobado que el diámetro divide al círculo en dos partes iguales, sólo puede haber sido por un procedimiento empírico, pre-científico. (...) Heath, I, pág. 131 hace notar que ni siguiera Euclides llega a tal demostración, limitándose a definir en el primer libro de sus ''Elementos'' al «diámetro» como «una recta que atraviesa el círculo pasando por su centro y terminando, en ambas direcciones, en la periferia, dividiendo así al círculo en dos partes iguales». Heath se acoge a la sugerencia de Cantor de que simplemente Tales habría ''observado este hecho'' en cualquiera de los círculos que se hallan en monumentos egipcios y que aparecen divididos por 2, 4 o 6 diámetros con un resultado de 4, 8 o 12 secciones iguales. De cualquier modo, no basta la mera observación para afirmar que las secciones son iguales. La «demostración matemática» que propone Proclo consiste en una invitación a imaginarse una de las dos partes del círculo -separadas por el diámetro- sobre la otra, y si coincide (''epharmózei''), implica que es igual. Esta propuesta de Proclo (p. 157, 17-158, 1) no está referida a Tales, ni menciona fuentes, aunque sin duda de basa en el axioma 7 de Euclides, que afirma que las cosas «coincidentes» (''epharmózonta''), es decir que, al aplicarse «una sobre otra», coinciden, «son iguales entre sí». Este procedimiento de «superposición» o «congruencia» se convierte, de hecho, en un recurso empírico que aplica Euclides en los teoremas 1 y 4 del libro I, aunque, claro está, no de forma imaginativa, sino con regla y compás (y otros recursos de índole deductiva)<ref>Nota a pie de página en Eggers Lan, Conrado & Juliá, Victoria E: [http://www.libgen.is/book/index.php?md5=A2159759C3C26AB609D338D7EF8F52E0 ''Los filósofos presocráticos''. Tomo I], Editorial Gredos, Madrid, 1981. pp. 74-75.</ref></blockquote>Acerca de T<small>2</small>, parece ser que como en el caso anterior, Tales haya empleado una metodología de «congruencia», no deductiva. Un punto de contención radica en la similitud en lugar de la igualdad de los ángulos mencionados:<blockquote>La equivalencia entre «similar» e «igual» puede haber resultado «arcaica» en tiempos de Proclo y Simplicio, pero vale por lo menos desde Homero hasta Aristóteles, o hasta Euclides. Como hace notar K. v. Fritz («Gleichheit, etc.», pág. 47), ya en Homero se halla una equivalencia entre ''hómoion'' e ''íson'', «similar» e «igual», respectivamente, y cita ''Ilíada'' V 440-441, donde Apolo insta a Diomedes a no tratar de ser «igual» a los «dioses», pues jamás serán de una raza «similar» a la de él. Pero más importante para nosotros es una frase del tratado aristotélico ''Del Cielo'' (II 14, 296b) donde se dice que los cuerpos celestes se mueven hacia la tierra pero no en forma paralela, sino «en ángulos iguales» (traducción Heath, en ''Aristarchus'', 237; en griego es ''pròs homoías gōnías''). Esta frase molestó a Simplicio, quien aclara «llama 'similares' a los ángulos 'iguales'» (''Del Cielo'' 538, 22). Es decir, del mismo modo que un siglo antes alude Proclo a Tales, calificando dicho lenguaje de «arcaico» (podía resultar arcaico en el s. V o VI n.e.). Pero eso no significa que Proclo o su fuente hayan tenido un libro de Tales al lado, como afirman rotundamente Burkert, Gladigow y Werden, entre otros. Ha bastado para ello el pensar, como en el caso del teorema anterior [T<small>1</small>], que Tales ha usado un procedimiento de «congruencia» y no una metodología deductiva que partiera del abstracto concepto de «igualdad».<ref>Nota a pie de página en Eggers Lan, Conrado & Juliá, Victoria E: [http://www.libgen.is/book/index.php?md5=A2159759C3C26AB609D338D7EF8F52E0 ''Los filósofos presocráticos''. Tomo I], Editorial Gredos, Madrid, 1981. p. 76.</ref></blockquote>Acerca de los teoremas T<small>3</small> y T<small>4</small>:<blockquote>Como tanto el teorema I.15 (T<small>3</small>) y I.26 (T<small>4</small>) en la forma que figuran en Euclides suponen numerosos teoremas y problemas anteriores, así como diversos axiomas, postulados y definiciones del libro I, además de estar estructurados deductivamente (lo cual sólo es posible a partir de Parménides), es impensable que hayan sido formulados por Tales, aunque de éste puede provenir algún enunciado más simple y más precario.<ref>Nota a pie de página en Eggers Lan, Conrado & Juliá, Victoria E: [http://www.libgen.is/book/index.php?md5=A2159759C3C26AB609D338D7EF8F52E0 ''Los filósofos presocráticos''. Tomo I], Editorial Gredos, Madrid, 1981. pp. 77.</ref></blockquote>Acerca de la utilización de T<small>4</small> para medir la distancia a que se encuentran los barcos:<blockquote>Si un observador se sitúa en lo alto de una torre frente al mar, cerca de la cual se ve un barco, con una suerte de compás fija -como eje capaz de rotar- en el suelo una de las piernas del mismo, mientras con la otra apunta al barco, hasta lograr formar (entre ambas piernas del compás) el ángulo preciso. Acto seguido, manteniendo el ángulo, hace rotar la pierna-eje hasta que la otra apunte a un objeto sito en tierra firme. Después es cuestión de medir la distancia que hay desde ese objeto hasta la torre, y esa medida es precisamente la que hay desde el barco hasta la torre. La idea es simple e inteligente; solo que -contra lo que afirma Heath- no necesita el conocimiento previo de un teorema según el cuál si dos triángulos tienen dos ángulos, de uno, respectivamente iguales a dos ángulos de otro y un lado de uno igual a un lado del otro, los otros dos lados y el restante ángulo, de uno, serán iguales a los respectivos lados y el restante ángulo del otro. El mismo Heath, al preferir este procedimiento a otros más complejos, hace notar que se asemeja más al caso de la medición de la altura de las pirámides. Es decir, añadimos nosotros, es un sentido fuertemente intuitivo de la comparación entre las distancias, aunque quizá requiera haber practicado con un compás distintas operaciones prácticas. De ellas puede haberse derivado un enunciado de un teorema (pues «teorema» debería llamarse sólo cuando queda demostrado; si no, no habría diferencia con una hipótesis, un postulado o un axioma), y no a la inversa. De cualquier modo, revela un intenso interés por medir y calcular.<ref>Nota a pie de página en Eggers Lan, Conrado & Juliá, Victoria E: [http://www.libgen.is/book/index.php?md5=A2159759C3C26AB609D338D7EF8F52E0 ''Los filósofos presocráticos''. Tomo I], Editorial Gredos, Madrid, 1981. pp. 77-78.</ref></blockquote>Finalmente, T<small>5</small>, además de destacar por su complejidad (compárese su posición, en el Libro III de los ''Elementos'', con el lugar ubicado por los teoremas T<small>2</small>, T<small>3</small> y T<small>4</small> ) que de por sí hace poco probable la demostración por parte de Tales del mismo.<blockquote>La tentación de atribuir descubrimientos extraordinarios a individuos con una reputación general de sabiduría estaba muy arraigada en la antigüedad. La historia contenía que, cuando acertó a formular el teorema [T<small>5</small>], sacrificó un buey, igual que se dice que hizo Pitágoras, al demostrar el teorema que comúnmente lleva su nombre.</blockquote>
AVISO
:
Antes de publicar, asegúrate de que te ciñes a nuestros
principios
.
Resumen:
ProleWiki defiende la abolición de la propiedad privada, incluida la propiedad intelectual, por lo que es libre de publicar cualquier obra a voluntad.
Cancelar
Ayuda de edición
(se abre en una ventana nueva)